СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 7

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 10–11 классы

( баллов) В остроугольном равнобедренном треугольнике () проведены высоты и , которые пересекаются в точке . Описанная окружность треугольника пересекает отрезок в точке . Докажите, что .

Чертёж к задаче

Ответ

Решение. Заметим, что высота из вершины также будет проходить через , т.к. высоты треугольника пересекаются в одной точке. Пусть — основание высоты из вершины .

Прямоугольные треугольники и подобны по двум углам, т.к. угол в треугольнике равен углу в треугольнике как углы при основании равнобедренного треугольника .

Угол является смежным с углом , т.е. равен . А т.к. — вписанный четырехугольник, то . Следовательно, . А, как мы помним, из подобия треугольников и .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 4

(30 баллов) На сторонах BC и AC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) нашлись точки D и E соответственно такие, что AE=AD, angle EDC=18circ. Найдите величину угла angle BAD.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 7

(30 баллов) В равнобокой трапеции ABCD (сторона BC параллельна стороне AD) известно, что angle ACD=111circ и BC+CD=AD. Найдите величину угла angle BDA.
Средняя
Планиметрия