СПбГУ 2025, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

( баллов) В равнобокой трапеции (сторона параллельна стороне ) известно, что и . Найдите величину угла .

Ответ

Ответ: .

Решение. Очевидно, что . Пусть и — основания перпендикуляров, опущенных из вершин и на соответственно. Таким образом, и . Следовательно, так как , то , то есть в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы . Отсюда получаем, что . Поэтому для треугольника получаем, что . Так как трапеция равнобокая, то , следовательно, .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отмечена точка K, а на продолжении стороны AD за точку D — точка L. Оказалось, что BK=DL. Отрезки BL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90^circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90^circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка

Средняя

Планиметрия