СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 7

Средняя

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 8–9 классы

( баллов) В равнобокой трапеции (сторона параллельна стороне ) известно, что и . Найдите величину угла .

Ответ

Ответ: .

Решение. Очевидно, что . Пусть и — основания перпендикуляров, опущенных из вершин и на соответственно. Таким образом, и . Следовательно, так как , то , то есть в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы . Отсюда получаем, что . Поэтому для треугольника получаем, что . Так как трапеция равнобокая, то , следовательно, .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90^circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90^circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне BC квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EC=CF:FB=1:2. На стороне CD отмечена точка G так, что CG:GD=2:1. На стороне AD отмечены точки H и I так, что AI:ID=DH:HA=1:2. Отрезок BG пересекает отрезки AE, IF и HC в точках J, K и L соответственно. Площадь какого из четырех

Средняя

Планиметрия