СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 6

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 8–9 классы

( баллов) Маша отмечает на стороне квадрата точку и находит длину отрезка . Миша проводит биссектрису угла , отмечает точку пересечения этой биссектрисы и стороны квадрата и находит сумму длин отрезков и . Может ли Маша выбрать точку так, чтобы найденная ею длина отрезка оказалась больше, чем результат у Миши?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Не может, их результаты всегда равны.

Чертёж к решению

Решение. На продолжении стороны квадрата за точку отложим отрезок , равный отрезку . Сравним длины отрезков (результат Маши) и (результат Миши). Треугольники и равны по двум катетам. Обозначим

Выразим углы треугольника :

следовательно, треугольник — равнобедренный и .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 5

(30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

(10 баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике ABC стороны AB=4, BC=3. Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника ABC», но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровн
Средняя
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.
Средняя
Планиметрия