СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 5

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 10–11 классы

( баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины , и (при этом — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Обозначим вершины треугольника, точки касания окружности и катетов и точки пересечения окружности и гипотенузы как указано на рисунке; , и . Пусть — радиус окружности, а , .

Поскольку и — точки касания, то и . По условию , поэтому в четырехугольнике угол тоже прямой. То есть — квадрат.

По свойству касательной к окружности и секущей, проведенных из одной точки, имеем:

Следовательно, и теорему Пифагора для треугольника — — можно переписать в виде квадратного уравнения относительно :

Его положительным корнем является

Найдем площадь треугольника :

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17circ. Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 6

(30 баллов) Основания AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 19 соответственно. AH и BG — высоты на прямую DC, CF — высота на прямую AB. Точки K, L, M, N — середины отрезков AB, CF, CD и AH соответственно. Найдите отношение площади трапеции ABCD к площади четырехугольника KLMN, если DG=17.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Средняя
Теория чисел
Планиметрия