СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

( баллов) Точка — середина гипотенузы прямоугольного треугольника . Точки и на прямых и соответственно таковы, что и . Найдите величину угла , если .

Чертёж к задаче

Ответ

Ответ: .

Решение. Поскольку в прямоугольном треугольнике угол , угол . Заметим, что треугольник является равнобедренным с основанием , так как по условию . Аналогично, треугольник — равнобедренный с основанием . Следовательно, углы при основаниях этих треугольников равны. Отсюда получаем, что .

Пусть точки и — основания перпендикуляров, опущенных на прямую из точек и соответственно. Легко заметить, что треугольники и подобны по двум углам. Поскольку , из равнобедренности треугольников и вытекает, что

Обозначим . Из прямоугольных треугольников и получаем, что и соответственно. Таким образом, для треугольника имеем

Поскольку в прямоугольном треугольнике угол острый, из последнего равенства вытекает, что .

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC, в котором angle ACB=45^circ, отмечена точка K такая, что AK=2KC. На отрезке BK нашлась такая точка S, что ASperp BK и angle AKS=60^circ. Докажите, что AS=BS. Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 8

(30 баллов) Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, опущенные из вершин A и C, пересекаются в точке H, а также пересекают биссектрису угла ABC в точках F и G соответственно. Докажите, что треугольник FGH — равнобедренный. Два варианта расположения точек

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отмечена точка K, а на продолжении стороны AD за точку D — точка L. Оказалось, что BK=DL. Отрезки BL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.

Средняя

Планиметрия