СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7
( баллов) Точка — середина гипотенузы прямоугольного треугольника . Точки и на прямых и соответственно таковы, что и . Найдите величину угла , если .
Ответ
Ответ: .
Решение. Поскольку в прямоугольном треугольнике угол , угол . Заметим, что треугольник является равнобедренным с основанием , так как по условию . Аналогично, треугольник — равнобедренный с основанием . Следовательно, углы при основаниях этих треугольников равны. Отсюда получаем, что .
Пусть точки и — основания перпендикуляров, опущенных на прямую из точек и соответственно. Легко заметить, что треугольники и подобны по двум углам. Поскольку , из равнобедренности треугольников и вытекает, что
Обозначим . Из прямоугольных треугольников и получаем, что и соответственно. Таким образом, для треугольника имеем
Поскольку в прямоугольном треугольнике угол острый, из последнего равенства вытекает, что .
Верное решение