СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 1
(10 баллов) Будем называть дату разнообразной, если в её записи вида ДД/ММ/ГГ (день-месяц-год) встречаются все цифры от 0 до 5. Сколько разнообразных дат в 2013 году?СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 2
(10 баллов) Любой вид природопользования влияет хотя бы на один из природных ресурсов, к каковым относятся: литогенная основа, почва, вода, воздух, растительный мир, животный мир. Виды, влияющие на один и тот же набор ресурсов, относят к одному типу. В ходе исследований выяснилось, что виды природопСПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 3
(10 баллов) Назовем словом любую конечную последовательность букв русского алфавита. Сколько различных шестибуквенных слов можно составить из букв слова СКАЛКА? А семибуквенных слов из букв слова ТЕФТЕЛЬ? В ответе укажите частное от деления большего из найденных чисел на меньшее.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 4
(20 баллов) На доске написано несколько положительных чисел. Сумма пяти наибольших из них составляет 0,29 суммы всех чисел, а сумма пяти наименьших — 0,26 суммы всех чисел. Сколько всего чисел написано на доске?СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 5
(20 баллов) Письменная работа студентов имеет двухбалльную систему оценивания, т.е. работа будет либо зачтена, если она выполнена хорошо, либо не зачтена, если выполнена плохо. Работы сначала проверяются нейронной сетью, дающей неверный ответ в 10% случаев, а затем все работы, признанные незачтеннымСПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 6
(20 баллов) Пусть дана последовательность неотрицательных целых чисел k,k+1,k+2,ldots,k+n. Найдите наименьшее k, при котором сумма всех чисел последовательности равна 100.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7
(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17circ. Чертёж к задачеСПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 8
(30 баллов) На продолжении стороны AB параллелограмма ABCD за точку B отмечена точка K, а на продолжении стороны AD за точку D — точка L. Оказалось, что BK=DL. Отрезки BL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9
(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 10
(40 баллов) На бал пришли 100 мальчиков и 100 девочек, пронумерованных числами от 1 до 100. Иногда мальчики и девочки танцевали (в танце участвуют пары из мальчика и девочки). После всех танцев оказалось, что для каждой девочки можно поделить всех мальчиков на две группы так, что суммарно с мальчикаСПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 11
(40 баллов) Назовём хвостом натурального числа любое число, которое получается из него отбрасыванием одной или нескольких первых цифр. Например, 234, 34 и 4 — хвосты числа 1234. Существует ли шестизначное число без нулей в десятичной записи, которое делится на каждый из своих хвостов?СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 12
(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 13
(40 баллов) В лагерь приехали 90 школьников. Известно, что среди любых 10 школьников обязательно найдутся два друга. Скажем, что группа школьников образует цепочку дружб, если детей в группе можно занумеровать числами от 1 до k так, что 1-й и 2-й — друзья, 2-й и 3-й — друзья, ldots, (k-1)-й и k-й — СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 14
(40 баллов) Определите знак суммы (√(2021)-√(2020))3+(√(2020)-√(2019))3+(√(2019)-√(2021))3, не выполняя возведение слагаемых в третью степень.
