СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 14

Сложная
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 8–9 классы

( баллов) Докажите, что среди трех чисел , и только одно делится на .

Ответ

Решение: Пусть и — нечетные натуральные числа. Если они дают одинаковый остаток от деления на , то либо , либо . В любом случае кратно . Если и дают разные остатки от деления на , то , и на не делится.

Заметим, что при делении на число дает остаток , а и — остаток . Значит, на делится только число .

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) На доске написано число frac1n. Один ход состоит в том, что к числителю и знаменателю дроби прибавляется по 1, после чего дробь сокращают (конечно, если она сократима). Может ли второе сокращение произойти ровно на 77-м ходу?
Сложная
Теория чисел

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 8

(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 10

(40 баллов) Пусть P(n) обозначает произведение цифр натурального числа n. При каком наибольшем натуральном k найдётся такое натуральное число n>10, что P(n)
Сложная
Теория чисел