СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 14

( баллов) Докажите, что среди трех чисел , и только одно делится на .

Ответ

Решение: Пусть и — нечетные натуральные числа. Если они дают одинаковый остаток от деления на , то либо , либо . В любом случае кратно . Если и дают разные остатки от деления на , то , и на не делится.

Заметим, что при делении на число дает остаток , а и — остаток . Значит, на делится только число .

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) На доске написано число frac1n. Один ход состоит в том, что к числителю и знаменателю дроби прибавляется по 1, после чего дробь сокращают (конечно, если она сократима). Может ли второе сокращение произойти ровно на 77-м ходу?

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске написаны числа 1², 2², 3²,..., 1000². Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.

Сложная

Алгебра

Теория чисел