СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 8

Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) В ячейках таблицы расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна или . Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти сумм быть попарно различны?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: нет, не могут.

Решение. Разобьем строку/столбец на пар соседних клеток и ещё одну клетку. В каждой такой паре сумма чисел равна или , а в одной клетке, в пару не попавшей, стоит число, не меньшее и не большее . Следовательно, сумма чисел в строке/столбце не меньше

и не больше

Итого сумма чисел в строке/столбце может принимать значений. Если все сумм в строках и столбцах различны, то каждое из этих значений должно встречаться ровно по одному разу. Значит, если сложить сумму всех строк таблицы с суммой всех столбцов таблицы, то получится

Заметим, что такая сумма дает удвоенную сумму всех чисел в таблице. Но сумма нечетна, так как содержит нечетных слагаемых. Противоречие.

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Король ходит по клетчатой доске 8 × 8. Он начинает в левом нижнем углу, а должен закончить в правом верхнем, смещаясь за один ход ровно на одну клеточку. Ему запрещено возвращаться на ту клеточку, где он уже был до этого, а также переходить в более левые столбцы. Другими словами, король
Сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 10

(40 баллов) Пусть P(n) обозначает произведение цифр натурального числа n. При каком наибольшем натуральном k найдётся такое натуральное число n>10, что P(n)
Сложная
Теория чисел

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 12

(40 баллов) Пять мальчиков играли в слова: каждый из них написал по 7 различных слов. Оказалось, что у каждого мальчика есть ровно по 2 слова, которые не встречаются ни у одного из остальных мальчиков. Какое наибольшее количество различных слов могли суммарно написать мальчики?
Сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 8

(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.
Сложная
Алгебра
Теория чисел