Отборочный этап

10–11 класс

Отборочный этап

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 1

(10 баллов) Даны две арифметические прогрессии: 4, 7, ldots, 2623 и 8, 12, ldots, 3500. Сколько чисел встречается одновременно в обеих этих прогрессиях?

Простая

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

(10 баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике ABC стороны AB=4, BC=3. Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника ABC», но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровн

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Для действительных чисел x и y>0 обозначим через x%y число x-y · [x/y]. Отметим на отрезке [-250;366] все x, являющиеся решением уравнения [x%frac72]=[x]%frac72. Найдите сумму длин всех отмеченных промежутков. Как обычно, через [a] обозначена целая часть числа a, т. е. наибольшее целое ч

Сложная

Алгебра

Функции

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более 1000 особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает лю

Средняя

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90^circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90^circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 7

(40 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что число (6n)!-3n+1 является квадратом целого числа?

Сложная

Теория чисел

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 8

(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

8–9 класс

Отборочный этап

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 1

(10 баллов) На дереве живёт несколько хамелеонов. Хамелеон, сидящий в тени, окрашивается в зелёный цвет, а хамелеон, сидящий на солнце — в жёлтый. Изначально зелёных хамелеонов в три раза больше, чем жёлтых. После того как три зелёных хамелеона переползли на солнце, а пять жёлтых ушли в тень, зелёны

Простая

Алгебра

Функции

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 2

(10 баллов) Сколькими различными способами числа от 1 до 194 можно разбить на 97 групп так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми? Способы считаются разными, если в одном из них есть группа, которой нет в другом. а) 0; б) 1; в) 194; г) 97; д) другой ответ.

Простая

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 3

(20 баллов) Король ходит по клетчатой доске 8 × 8. Он начинает в левом нижнем углу, а должен закончить в правом верхнем, смещаясь за один ход ровно на одну клеточку. Ему запрещено возвращаться на ту клеточку, где он уже был до этого, а также переходить в более левые столбцы. Другими словами, король

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) В поликлинике на острове рыцарей и лжецов в четыре кабинета стоят четыре очереди. В первой очереди — 15 островитян, во второй — 19, в третьей — 18, в четвёртой — 14. Каждый островитянин, кроме первых в очередях, заявил: «В очереди передо мной не менее двух лжецов». Сколько рыцарей в поли

Средняя

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 5

(30 баллов) На высоте BH остроугольного треугольника ABC нашлась такая точка L, что angle LAH=45^circ и AB=CL. Верно ли, что angle ACB=45^circ?

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

(30 баллов) На сторонах AB и AC как на основаниях вне треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ABP и ACQ, а на стороне BC внутрь треугольника — равнобедренный треугольник BCR. Известно, что angle APB=angle AQC=angle BRC=118^circ. Верно ли, что APRQ — параллелограмм?

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 7

(40 баллов) Каждое число, большее 100, покрашено в один из двух цветов — синий или красный. Известно, что произведение любых трёх (не обязательно различных) синих чисел — синее, а произведение любых трёх красных чисел — красное. Докажите, что или произведение любых двух красных чисел — красное, или

Сложная

Алгебра

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 8

(40 баллов) В каждой клетке доски 17 × 17 стоит натуральное число от 1 до 17. Известно, что в каждом столбце все числа разные (в строчках числа могут повторяться). В одной из клеток доски стоит фишка. Разрешается передвинуть фишку из клетки с числом n в соседнюю по стороне клетку, если в ней стоит ч

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика