СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 10–11 классы

( баллов) Пусть — середина дуги описанной окружности треугольника , не содержащей точку ; — центр вписанной окружности треугольника . Продолжение медианы из точки треугольника пересекает сторону в точке . Верно ли, что ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: да, верно.

Чертёж к задаче

Решение. Центр вписанной окружности, , является точкой пересечения биссектрис. Поскольку дуги и равны, то — биссектриса угла и, значит, проходит через точку .

Рассмотрим треугольник . В нём угол является внешним углом для треугольника и, следовательно, равен сумме углов и . С другой стороны, , так как — биссектриса угла , и

как опирающиеся на равные дуги. Получаем, что , то есть треугольник равнобедренный и, следовательно, медиана будет являться и высотой — .

Поэтому будет равнобедренным и треугольник . Откуда находим, что

То есть равны накрест лежащие углы при прямых и и секущей . Таким образом, .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.
Сложная
Алгебра
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) В треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Известно, что angle MBC=angle FCA и BM=CF. Верно ли, что треугольник ABC — равносторонний?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

(30 баллов) На сторонах AB и AC как на основаниях вне треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ABP и ACQ, а на стороне BC внутрь треугольника — равнобедренный треугольник BCR. Известно, что angle APB=angle AQC=angle BRC=118circ. Верно ли, что APRQ — параллелограмм?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 7

(40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите,
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика