СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9

Сложная
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) В треугольнике проведены высота и медиана . Известно, что и . Верно ли, что треугольник — равносторонний?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Да.

Решение. В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы . Следовательно, треугольник равнобедренный с основанием и . Так как углы и равны, опираются на один и тот же отрезок и лежат по одну сторону от него, то четырёхугольник вписанный. Отсюда получаем, что (и равен ). Таким образом, в треугольнике является биссектрисой и медианой (по условию), то есть треугольник — равнобедренный с основанием .

Чертёж к решению

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: и ( является ещё и высотой). У них равны катеты и и прилежащие у ним углы (, по условию). Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда, . И окончательно получаем, что .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

(30 баллов) На сторонах AB и AC как на основаниях вне треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ABP и ACQ, а на стороне BC внутрь треугольника — равнобедренный треугольник BCR. Известно, что angle APB=angle AQC=angle BRC=118circ. Верно ли, что APRQ — параллелограмм?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.
Сложная
Алгебра
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?
Сложная
Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 10

(30 баллов) На стороне AD вписанного четырёхугольника ABCD нашлась точка P такая, что angle APC=angle ABP=90circ и BPparallel CD. Пусть M — середина PD. Докажите, что angle ACM=90circ. Чертёж к задаче
Сложная
Планиметрия