СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 10

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) На стороне вписанного четырёхугольника нашлась точка такая, что и . Пусть — середина . Докажите, что .

Чертёж к задаче

Ответ

Решение. Так как вписанный и прямой, то он опирается на диаметр описанной окружности четырёхугольника . Обозначим через — точку, диаметрально противоположную точке . Таким образом, точки , и будут лежать на одной прямой, параллельной прямой (по условию).

Теперь заметим, что — вписанный угол той же окружности, следовательно, он прямой; то есть . Но по условию , отсюда получаем, что . Таким образом, — параллелограмм и точка — точка пересечения его диагоналей. Поэтому точки , и лежат на одной прямой, а — вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 6

(30 баллов) На сторонах AB и AC как на основаниях вне треугольника ABC построены равнобедренные треугольники ABP и ACQ, а на стороне BC внутрь треугольника — равнобедренный треугольник BCR. Известно, что angle APB=angle AQC=angle BRC=118^circ. Верно ли, что APRQ — параллелограмм?

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.

Сложная

Алгебра

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(30 баллов) Пусть M — середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку C; I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Продолжение медианы из точки M треугольника BMI пересекает сторону BC в точке D. Верно ли, что IDparallel AB?

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) В треугольнике ABC проведены высота CF и медиана BM. Известно, что angle MBC=angle FCA и BM=CF. Верно ли, что треугольник ABC — равносторонний?

Сложная

Планиметрия