СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 10
( баллов) На стороне вписанного четырёхугольника нашлась точка такая, что и . Пусть — середина . Докажите, что .
Ответ
Решение. Так как вписанный и прямой, то он опирается на диаметр описанной окружности четырёхугольника . Обозначим через — точку, диаметрально противоположную точке . Таким образом, точки , и будут лежать на одной прямой, параллельной прямой (по условию).
Теперь заметим, что — вписанный угол той же окружности, следовательно, он прямой; то есть . Но по условию , отсюда получаем, что . Таким образом, — параллелограмм и точка — точка пересечения его диагоналей. Поэтому точки , и лежат на одной прямой, а — вписанный угол, опирающийся на диаметр.