СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 10–11 классы

( баллов) На сторонах и квадрата отмечены точки и так, что . Отрезки и пересекают диагональ квадрата в точках и соответственно. Найдите .

Ответ

Ответ: .

Первое решение. Решим задачу в общем виде: . Пусть , , тогда , , , . Заметим, что — биссектриса в треугольниках и , используя известные свойства биссектрисы находим, что , , , .

Чертёж к решению

По формуле длины биссектрисы находим

то есть, . Аналогично находим, что . Теперь все готово для того, чтобы посчитать ответ:

Поставляем значения , и находим .

Второе решение. Треугольники и подобны (по двум углам), следовательно, и . Аналогично, треугольник подобен треугольнику , следовательно, и . Тогда искомое отношение

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 13

(40 баллов) В магазине, где все товары стоят целое число рублей, действуют два специальных предложения: 1) Покупатель, купивший одновременно не менее трех товаров, может выбрать в подарок (бесплатно) один товар, стоимость которого не превышает минимальной из стоимостей оплаченных товаров; 2) Покупат

Сложная

Алгебра

Функции

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 11

(40 баллов) Найдите все пары рациональных чисел (a,b), для которых √a+√b=√(2+√3).

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Функции

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 9

(40 баллов) Про действительные числа a, b и c известно, что ab+bc+ca=3. Какие значения может принимать выражение (a(b²+3)/a+b) +(b(c²+3)/b+c) +(c(a²+3)/c+a)?

Сложная

Алгебра

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат: 99+ldots=ldots 203+ldots=ldots Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты р

Сложная

Алгебра

Теория чисел

Функции