СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

( баллов) На сторонах и квадрата отмечены точки и так, что . Отрезки и пересекают диагональ квадрата в точках и соответственно. Найдите .

Ответ

Ответ: .

Первое решение. Решим задачу в общем виде: . Пусть , , тогда , , , . Заметим, что — биссектриса в треугольниках и , используя известные свойства биссектрисы находим, что , , , .

Чертёж к решению

По формуле длины биссектрисы находим

то есть, . Аналогично находим, что . Теперь все готово для того, чтобы посчитать ответ:

Поставляем значения , и находим .

Второе решение. Треугольники и подобны (по двум углам), следовательно, и . Аналогично, треугольник подобен треугольнику , следовательно, и . Тогда искомое отношение

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 10

(30 баллов) На стороне AD вписанного четырёхугольника ABCD нашлась точка P такая, что angle APC=angle ABP=90^circ и BPparallel CD. Пусть M — середина PD. Докажите, что angle ACM=90^circ. Чертёж к задаче

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2022, отборочный этап, 8–9 классы, задача 13

(40 баллов) В магазине, где все товары стоят целое число рублей, действуют два специальных предложения: 1) Покупатель, купивший одновременно не менее трех товаров, может выбрать в подарок (бесплатно) один товар, стоимость которого не превышает минимальной из стоимостей оплаченных товаров; 2) Покупат

Сложная

Алгебра

Функции

СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 7

(40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите,

Сложная

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 7

(40 баллов) Каждое число, большее 100, покрашено в один из двух цветов — синий или красный. Известно, что произведение любых трёх (не обязательно различных) синих чисел — синее, а произведение любых трёх красных чисел — красное. Докажите, что или произведение любых двух красных чисел — красное, или

Сложная

Алгебра