СПбГУ 2023, отборочный этап, 8–9 классы, задача 9

( баллов) Про действительные числа , и известно, что . Какие значения может принимать выражение

Ответ

Ответ: .

Решение. Рассмотрим первое слагаемое искомого выражения. Воспользуемся условием, что . Тогда

Следовательно,

Аналогично для второго и третьего слагаемого получаем

Таким образом,

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2022, отборочный этап, 10–11 классы, задача 12

(40 баллов) Петя задумал некоторое натуральное число. За один ход он может домножить его на любое рациональное число от 1/3 до 2. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 1001.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2023, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.

Сложная

Алгебра

Планиметрия

СПбГУ 2026, отборочный этап, 8-9 классы, задача 7

(40 баллов) Каждое число, большее 100, покрашено в один из двух цветов — синий или красный. Известно, что произведение любых трёх (не обязательно различных) синих чисел — синее, а произведение любых трёх красных чисел — красное. Докажите, что или произведение любых двух красных чисел — красное, или

Сложная

Алгебра

СПбГУ 2026, отборочный этап, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) Для действительных чисел x и y>0 обозначим через x%y число x-y · [x/y]. Отметим на отрезке [-250;366] все x, являющиеся решением уравнения [x%frac72]=[x]%frac72. Найдите сумму длин всех отмеченных промежутков. Как обычно, через [a] обозначена целая часть числа a, т. е. наибольшее целое ч

Сложная

Алгебра

Функции