СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 13
( баллов) В магазине, где все товары стоят целое число рублей, действуют два специальных предложения:
Покупатель, купивший одновременно не менее трех товаров, может выбрать в подарок (бесплатно) один товар, стоимость которого не превышает минимальной из стоимостей оплаченных товаров;
Покупатель, купивший ровно один товар на сумму не менее рублей, получает скидку на следующую покупку (из любого количества товаров).
Покупатель, впервые пришедший в данный магазин, хочет приобрести ровно четыре товара суммарной стоимостью рублей, самый дешевый из которых стоит не менее рублей. Определите наибольшее , при котором второе предложение для него выгоднее первого.
Ответ
Ответ: .
Решение: Обозначим через суммарную стомость четырех заинтересовавших покупателя товаров, а через — минимальную возможную стоимость товаров. Заинтересованость ровно в четырех товарах означает, что покупатель может воспользоваться либо предложением , либо предложением , но не обоими.
Пусть товары стоят , , , рублей, где . В случае первого специального предложения покупатель может получить в подарок только товар со стоимостью ; следовательно, он потратит рублей. В случае второго специального предложения покупатель потратит
где — минимальная из стоимостей, не меньшая (она существует, иначе вторым предложением нельзя будет воспользоваться).
Покупателю выгоднее второе специальное предложение, если
откуда , то есть .
Проверим, что значение реализуется для . Пусть стоимости товаров равны , , и рубля. И пусть для использования второго специального предложения покупатель приобретает товар стоимостью рубля. Тогда он заплатит сумму , которая меньше суммы, потраченной в случае использования первого специального предложения — .
Верное решение