СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 8

Ответ: .

Решение. Прежде всего заметим, что , поскольку ни в какой системе счисления не записывается как (кроме того, , исходя из смысла чисел и ). Распишем заданные числа:

По условию и, соответственно, . Поэтому если для каких-то значений и окажется, что

то равенство в этом случае будет невозможным. Преобразуем:

где мы воспользовались формулой для суммы арифметической прогрессии и тем, что . Далее поступаем аналогично:

Пусть , тогда

Это означает, что при неравенство выполняется. Запишем равенство для случая :

Таким образом, равенство возможно только в одном случае, когда , а .