СПбГУ 2024, отборочный этап, 10–11 классы, задача 8
( баллов) Пусть -значное число записано в системе счисления с основанием , а -значное число записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел и такие, что .
Ответ
Ответ: .
Решение. Прежде всего заметим, что , поскольку ни в какой системе счисления не записывается как (кроме того, , исходя из смысла чисел и ). Распишем заданные числа:
По условию и, соответственно, . Поэтому если для каких-то значений и окажется, что
то равенство в этом случае будет невозможным. Преобразуем:
где мы воспользовались формулой для суммы арифметической прогрессии и тем, что . Далее поступаем аналогично:
Пусть , тогда
Это означает, что при неравенство выполняется. Запишем равенство для случая :
Таким образом, равенство возможно только в одном случае, когда , а .