СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 8
(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 11
(40 баллов) Назовём хвостом натурального числа любое число, которое получается из него отбрасыванием одной или нескольких первых цифр. Например, 234, 34 и 4 — хвосты числа 1234. Существует ли шестизначное число без нулей в десятичной записи, которое делится на каждый из своих хвостов?СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 8
(40 баллов) В ячейках таблицы 19 × 19 расставлены натуральные числа. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних по стороне ячейках равна 29 или 30. Посчитаем сумму чисел в каждой строке и каждом столбце. Могут ли все эти 38 сумм быть попарно различны?СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 11
(40 баллов) На доске написано число frac1n. Один ход состоит в том, что к числителю и знаменателю дроби прибавляется по 1, после чего дробь сокращают (конечно, если она сократима). Может ли второе сокращение произойти ровно на 77-м ходу?
