СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 11
( баллов) Назовём хвостом натурального числа любое число, которое получается из него отбрасыванием одной или нескольких первых цифр. Например, , и — хвосты числа . Существует ли шестизначное число без нулей в десятичной записи, которое делится на каждый из своих хвостов?
Ответ
Ответ: Да (подходит ).
Решение. Предположим, что требуемое число существует. Запишем его в виде . Тогда делится на свой пятизначный хвост, то есть на . Значит, на делится разность и его хвоста, равная . Следовательно, нам нужно перебрать пятизначные делители без нулей в десятичной записи. Любой делитель числа есть произведение на некоторые степени пятерки и двойки. Поскольку на это произведение оканчиваться не должно, оно не может содержать одновременно и двойку, и пятерку. Если мы берем только двойки, то получаем число, не превосходящее , то есть не пятизначное. Значит, нам нужно число , причем с нечетным . Заметим, что , иначе , и это число также не пятизначное. Наконец, , поскольку число четырехзначное.
С учетом рассмотренных ограничений мы получаем три возможных варианта: , , . Второй из них дает число , которое нам подходит:
Несложно проверить, что два других варианта не годятся. Но в этом нет необходимости, поскольку ответ уже получен.
Верное решение