СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 12

Ответ: или , .

Решение. Перепишем уравнение в виде , . Далее рассмотрим несколько ситуаций.

Если , то , то есть .

Если , то можно записать , где — натуральное число. После сокращения, уравнение принимает вид . Левая часть не превосходит , когда правая часть не меньше, чем , следовательно, решений нет.

Если , то , где — натуральное число. В этом случае уравнение принимает вид . Заметим, что , значит, в левой части последнего уравнения не более четырех сомножителей. Однако, если (четыре сомножителя) или (три сомножителя), то в левой части имеется произведение трех или двух последовательных натуральных чисел, чего не может быть. Следовательно, и уравнение имеет единственное натуральное решение .