СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 7

Сложная

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 8–9 классы

( баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат:

Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты различных натуральных чисел. Найдите все возможные варианты значений стертого слагаемого, которые сможет предложить Петя?

Ответ

Ответ: Петя найдет два возможных слагаемых ( и ).

Решение. Пусть — стертое слагаемое, а и — правые части равенств. Составим разность: . Заметим, что и имеют одинаковую четность, а значит, являются четными числами. Поскольку , то имеем два варианта:

Решая системы, находим , , и , , .

Верное решение

Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) На сторонах AB и AD квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EA=AF:FD=2022:2023. Отрезки EC и FC пересекают диагональ квадрата BD в точках G и H соответственно. Найдите GH:BD.

Сложная

Алгебра

Планиметрия

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 11

(40 баллов) Числа от 1 до 600 разбиты на несколько групп. Известно, что если в группе более одного числа, то сумма любых двух чисел из этой группы делится на 6. Какое наименьшее количество групп может быть?

Сложная

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 8

(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 7

(40 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что число (6n)!-3n+1 является квадратом целого числа?

Сложная

Теория чисел