1. Олимпиады
  2. Олимпиады школьников СПбГУ

Отборочный этап

10–11 класс

Отборочный этап

PDF
Задания и решения
PDF
Критерии оценивания

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 1

(10 баллов) Хромая ладья бьёт ближайшие 15 клеток слева, справа, сверху и снизу (т. е. на бесконечной клетчатой плоскости она бы била 4 × 15 клеток, не считая той, на которой стоит). Какое наибольшее количество не бьющих друг друга хромых ладей можно поставить на доску 193 × 193 так, чтобы они не би
Простая
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 2

(20 баллов) Положительные действительные числа x, y и z таковы, что x4+1=62x2,qquad y4+1=674y2,qquad z4+1=623z2. Число n таково, что x2y2z2+1=(xy+1)(yz+1)(zx+1)-nxyz. Найдите n. Если необходимо, округл
Средняя
Алгебра
Функции

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 3

(20 баллов) Внутри треугольника ABC со сторонами AB=√5, BC=(4/3) и AC=π отмечена точка M. Оказалось, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника d=MA+MB+MC — натуральное число. Найдите произведение возможных значений d.
Простая
Алгебра
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 5

(30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 6

(40 баллов) На доске написаны числа 1, 2, 3,..., 2023. Раз в минуту к доске подбегает Жора. Он выбирает некоторое натуральное число k, но не обязательно написанное на доске. После этого каждое число на доске, не меньшее k, уменьшает на k. После нескольких операций на доске осталось ровно одно ненуле
Сложная
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 7

(40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите,
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 8

(40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B.
Сложная
Алгебра
Теория чисел

8–9 класс

Отборочный этап

PDF
Задания и решения
PDF
Критерии оценивания

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 1

(10 баллов) Саша на день рождения пригласил 50 друзей и приготовил для них два вида лимонада: «Байкал» и «Тархун». В ходе дня рождения хоть какой-то лимонад пили 40 друзей Саши, причём 27 друзей не пили «Тархун». Сколько друзей Саши пили только «Байкал»? а) 17 б) 27 в) 40 г) 50 д) другой ответ
Очень простая
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 2

(10 баллов) У Жоры имеется 6 карточек, на которых написаны цифры от 1 до 6 (на каждой карточке ровно одна цифра, каждая цифра написана ровно на одной карточке), лежащие в стопке в некотором порядке. Жора выкладывает из карточек два трёхзначных числа: он берёт карточки из стопки сверху вниз и кладёт
Простая
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 3

(20 баллов) Найдите наименьшее натуральное число n, для которого существует дробь со знаменателем n, лежащая между числами (791/79) и (1016/101).
Простая
Теория чисел

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 4

(20 баллов) На доске было записано четырехзначное число. Хулиган Петя на перемене стер у числа две соседние цифры, так что на доске осталось число 34. Отличник Вася пытается восстановить число, зная, что оно при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 — остаток 4. Сколько подходящих чисел на
Простая
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 5

(30 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC (угол B равен 90 градусов). Точки D и E — середины сторон AB и AC. Точка F, лежащая в той же полуплоскости относительно прямой DE, что и точка A, такова, что треугольник DEF — равносторонний. Прямые AC и BF пересекаются в точке X, прямые A
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC угол при основании AC равен 64circ. Внутри angle BAC, но вне треугольника ABC отмечена точка K такая, что AK=BC. Внутри треугольника ABC отмечена точка Q такая, что AQ=QC и AQ — биссектриса угла BAK. Найдите величину угла angle AKQ. Чертёж к з
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 7

(40 баллов) На доске были записаны два примера на сложение чисел, но хулиган Вася стер в каждом примере одно из слагаемых, а также получившийся результат: 99+ldots=ldots 203+ldots=ldots Отличник Петя помнит, что стертое слагаемое было одинаковым для обоих примеров, а результатами являлись квадраты р
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Функции

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 8

(40 баллов) Петя и Вася играют на доске 10 × 10, исходно покрашенной в белый цвет. Они по очереди перекрашивают по одной клетке доски: Петя — в красный цвет, Вася — в синий цвет. Начинает Петя; игра заканчивается, когда все клетки доски будут покрашены. Может ли Петя красить клетки так, чтобы вне за
Средняя
Комбинаторика