СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 2
( баллов) У Жоры имеется карточек, на которых написаны цифры от до (на каждой карточке ровно одна цифра, каждая цифра написана ровно на одной карточке), лежащие в стопке в некотором порядке. Жора выкладывает из карточек два трёхзначных числа: он берёт карточки из стопки сверху вниз и кладёт их в каждом числе слева направо. В результате у него образовались два числа: и . Жоре эти числа не понравилось, он собрал карточки обратно в стопку в изначальном порядке и повторил свой алгоритм. На этот раз у него вышли числа и . В каком порядке карточки лежали в стопке?
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) другой ответ.
Ответ
Ответ: а)
Решение. То, что карточки берутся сверху вниз и выкладываются слева направо означает, что карточка с более левой цифрой в числе в стопке должна была находиться выше, чем карточка с более правой цифрой. Для чисел первой попытки имеем: «» выше «», которая выше «»; «» выше «», которая выше «». Будем обозначать это как и . Карточки одного числа могут идти в стопке как подряд, так и чередуясь с карточками другого числа. Поэтому, если бы была только одна попытка составления чисел, то вариантов расположения карточек в стопке могло бы быть много.
Однако, вторая попытка составления чисел накладывает другие ограничения на взаимное расположение карточек в стопке: и .
На основании полученных ограничений проанализируем расположение карточек в стопке. Верхней карточкой может быть только «», т. к. не может быть никакая другая, поскольку, например, выше «» должна быть «», выше «» — «» или «», и т. д. Нижней карточкой может быть только «», т. к. ниже и «», и «» (последних цифр составленных чисел) должны быть другие карточки. Теперь обратим внимание на вторые числа в каждой попытке: и . Они дают следующее ограничение на расположение карточек: . Таким образом, у нас есть единственный вариант расположения карточек в стопке, а именно ответ a).
Верное решение