СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 4
( баллов) На доске было записано четырехзначное число. Хулиган Петя на перемене стер у числа две соседние цифры, так что на доске осталось число . Отличник Вася пытается восстановить число, зная, что оно при делении на дает остаток , а при делении на — остаток . Сколько подходящих чисел найдет Вася, если ему неизвестно, является ли нестертая Петей часть числа началом его записи или концом?
Ответ
Ответ: .
Решение. Утверждение «при делении на дает остаток » означает, что последней цифрой может быть или , значит, может быть концом записи искомого числа. Рассмотрим сначала именно этот случай. Вторую (слева) цифру мы можем выбрать способами, оставшуюся цифру уже нужно выбирать из условия «при делении на дает остаток ». Ноль не может быть первой цифрой числа, оставшиеся цифр разбиваются в группы по три, дающие одинаковый остаток при делении на . В этом случае мы получаем вариантов интересующего нас числа.
Теперь рассмотрим случай, когда — это начало четырехзначного числа. Последнюю цифру мы можем выбрать способами. Предпоследнюю цифру выбираем из условия делимости на с нужным остатком. Если последняя цифра — это , то предпоследней может быть , , или , а если последняя цифра — это , то предпоследней может быть , или . Получаем еще варианта.
Верное решение