СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 6

Ответ: .

Решение. Указанная последовательность чисел является арифметической прогрессией с членами. Ее сумма равна . Поэтому условие перепишется в виде , где — неотрицательное целое число. Очевидно, что уменьшается при увеличении . Значит, нам надо подобрать наибольшее , при котором окажется целым. Заметим, что

Кроме того, . Рассмотрим два случая.

1. четно. Наибольшее , при котором делится на , равно , откуда .

2. нечетно. Тогда может быть равно только , , (иначе не делится на ). При мы получим . Оно и будет наименьшим.