СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 3

Ответ: .

Решение. Заметим, что — это , а — это . Таким образом, задача сводится к поиску наименьшего натурального , для которого существует дробь такая, что

Здесь — натуральное число, .

Приведя дроби, записанные в этом условии, к общему знаменателю, получим следующее ограничение:

или, что то же самое,

При разных значениях это будут разные промежутки. Например, при , это будет промежуток , при — промежуток и т. д. Нам нужно найти наименьшее , поэтому попробуем найти его в «наименьшем» промежутке, т. е. при . Преобразуем: . Видим, что наименьшее натуральное число, лежащее между и — это .