СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 4

Простая

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 8–9 классы

( баллов) В марсианском календаре год состоит из дней, а в каждом месяце или дней. Сколько месяцев в марсианском календаре?

Ответ

Ответ: .

Решение: Пусть — количество месяцев, в которых дней, — количество месяцев, в которых дней. По условию, . Очевидно, , иначе .

Заметим, что

Значит, при некотором целом , откуда

Правая часть делится на , но и взаимно просты. Тогда на делится число , лежащее между и . Это возможно лишь в случае . Поэтому и .

Верное решение

Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 4

(20 баллов) На доске было записано четырехзначное число. Хулиган Петя на перемене стер у числа две соседние цифры, так что на доске осталось число 34. Отличник Вася пытается восстановить число, зная, что оно при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 — остаток 4. Сколько подходящих чисел на

Простая

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 3

(20 баллов) Найдите наименьшее натуральное число n, для которого существует дробь со знаменателем n, лежащая между числами (791/79) и (1016/101).

Простая

Теория чисел

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 1

(10 баллов) На дереве живёт несколько хамелеонов. Хамелеон, сидящий в тени, окрашивается в зелёный цвет, а хамелеон, сидящий на солнце — в жёлтый. Изначально зелёных хамелеонов в три раза больше, чем жёлтых. После того как три зелёных хамелеона переползли на солнце, а пять жёлтых ушли в тень, зелёны

Простая

Алгебра

Функции

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 1

(10 баллов) Даны две арифметические прогрессии: 4, 7, ldots, 2623 и 8, 12, ldots, 3500. Сколько чисел встречается одновременно в обеих этих прогрессиях?

Простая

Алгебра

Теория чисел