СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 1
( баллов) Шахматные клубы Москвы, Санкт-Петербурга и Казани договорились провести турнир. Каждый москвич сыграл ровно с петербуржцами и с казанцами. Каждый петербуржец сыграл ровно с москвичами и с казанцами. Каждый казанец сыграл ровно с москвичами и с петербуржцами. Чему равно ?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть команда Москвы состояла из участников, команда Санкт-Петербурга — из участников, команда Казани — из участников.
По условию, каждый москвич, т.е. каждый из человек, сыграл ровно партий с петербуржцами; а каждый петербуржец — каждый из человек — сыграл ровно с москвичами. Очевидно, партии, сыгранные москвичами с петербуржцами, — это те же партии, что сыграли петербуржцы с москвичами, т.е. .
Аналогично, и . Имеем
Отсюда, .
Верное решение