СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 5
( баллов) Письменная работа студентов имеет двухбалльную систему оценивания, т.е. работа будет либо зачтена, если она выполнена хорошо, либо не зачтена, если выполнена плохо. Работы сначала проверяются нейронной сетью, дающей неверный ответ в случаев, а затем все работы, признанные незачтенными, перепроверяются вручную экспертами, которые не ошибаются. Нейронная сеть может как отнести к незачтенным хорошую работу, так и наоборот — отнести к зачтенным плохую. Известно, что среди всех сданных студентами работ на самом деле плохих. Какой наименьший процент плохих работ может быть среди тех, которые эксперты перепроверяют после отбора нейронной сетью? В ответе укажите целую часть числа.
Ответ
Ответ: .
Решение. Работы студентов представим на рисунке ниже.
Ошибки нейронной сети могут:
а) отнести все хороших работ к плохим;
б) отнести часть хороших работ к плохим, а часть плохих — к хорошим;
в) отнести все плохих работ к хорошим.
Проанализируем общий случай. Пусть — процент от общего числа работ, ошибочно отнесенных к хорошим (это те из плохих работ, которые не попадут к экспертам); . Тогда на перепроверку эксперты получат (в процентах от всех работ):
плохие работы, в которых нейронная сеть не ошиблась — их ;
хорошие работы, ошибочно отнесенные к плохим — их .
Таким образом, процент перепроверяемых плохих работ равен
Эта функция возрастает на всей области определения, поэтому в условиях задачи принимает наименьшее значение при . Это значение равно , а его целая часть равна .
Верное решение