СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 4

Простая

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2022, 10–11 классы

( баллов) На доске написано несколько положительных чисел. Сумма пяти наибольших из них составляет суммы всех чисел, а сумма пяти наименьших — суммы всех чисел. Сколько всего чисел написано на доске?

Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть общее количество чисел равно . Из условия ясно, что . Можно считать, что сумма всех чисел равна (иначе поделим каждое из чисел на эту сумму, условие задачи сохранится). Упорядочим числа по возрастанию:

Тогда

Кроме того,

Пусть . Заметим, что . Поэтому

Следовательно,

Из целых этому двойному неравенству удовлетворяет только . Таким образом, всего на доске написано чисел.

Верное решение

Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 1

(10 баллов) Арендатору в квартире нужны 152 розетки, а пока есть только 9. Арендодатель предлагает просто купить побольше удлинителей. В магазине продаются удлинители на 9 розеток за 810 рублей, удлинители на 5 розеток за 400 рублей, удлинители на 8 розеток за 700 рублей. Какое наименьшее количество

Простая

Алгебра

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 3

(20 баллов) Внутри треугольника ABC со сторонами AB=√5, BC=(4/3) и AC=π отмечена точка M. Оказалось, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника d=MA+MB+MC — натуральное число. Найдите произведение возможных значений d.

Простая

Алгебра

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 2

(10 баллов) Натуральные числа a и b таковы, что ab>127a+534b. При каком наибольшем натуральном N можно утверждать, что хотя бы одно из чисел a и b не меньше N?

Простая

Алгебра

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 1

(10 баллов) На дереве живёт несколько хамелеонов. Хамелеон, сидящий в тени, окрашивается в зелёный цвет, а хамелеон, сидящий на солнце — в жёлтый. Изначально зелёных хамелеонов в три раза больше, чем жёлтых. После того как три зелёных хамелеона переползли на солнце, а пять жёлтых ушли в тень, зелёны

Простая

Алгебра

Функции