СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 3

Простая

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 10–11 классы

( баллов) Внутри треугольника со сторонами , и отмечена точка . Оказалось, что сумма расстояний от точки до вершин треугольника — натуральное число. Найдите произведение возможных значений .

Ответ

Ответ: .

Решение. По неравенству треугольника , , , складывая эти неравенства находим, что больше величины полупериметра треугольника. С другой стороны, справедливы неравенства , , , складывая эти неравенства получаем, что меньше периметра треугольника. В указанном диапазоне находятся натуральные числа , и , следовательно, ответ равен .

Верное решение

Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Пусть дана последовательность неотрицательных целых чисел k,k+1,k+2,ldots,k+n. Найдите наименьшее k, при котором сумма всех чисел последовательности равна 100.

Простая

Алгебра

Теория чисел

Функции

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 1

(10 баллов) Арендатору в квартире нужны 152 розетки, а пока есть только 9. Арендодатель предлагает просто купить побольше удлинителей. В магазине продаются удлинители на 9 розеток за 810 рублей, удлинители на 5 розеток за 400 рублей, удлинители на 8 розеток за 700 рублей. Какое наименьшее количество

Простая

Алгебра

Комбинаторика

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 2

(10 баллов) 20 человек писали тест, результат которого — некоторое натуральное число. Известно, что Саша набрал на 98 баллов больше, чем средний балл остальных участников. А на сколько больше набрал Саша по сравнению со средним баллом всех участников? а) 98; б) 4,9; в) 93,1; г) 22,3; д) другой ответ

Простая

Алгебра

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 1

(10 баллов) На дереве живёт несколько хамелеонов. Хамелеон, сидящий в тени, окрашивается в зелёный цвет, а хамелеон, сидящий на солнце — в жёлтый. Изначально зелёных хамелеонов в три раза больше, чем жёлтых. После того как три зелёных хамелеона переползли на солнце, а пять жёлтых ушли в тень, зелёны

Простая

Алгебра

Функции