СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 8

Средняя
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 8–9 классы

( баллов) Петя и Вася играют на доске , исходно покрашенной в белый цвет. Они по очереди перекрашивают по одной клетке доски: Петя — в красный цвет, Вася — в синий цвет. Начинает Петя; игра заканчивается, когда все клетки доски будут покрашены. Может ли Петя красить клетки так, чтобы вне зависимости от ходов Васи в конце нашлись две соседние клетки доски, покрашенные в синий цвет? Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Да, может.

Решение. Доска состоит из клеток, поэтому каждый мальчик сделает по ходов и последний ход будет за Васей. Чтобы нашлись две соседние клетки синего цвета, Пете нужно добиться, чтобы последним ходом Вася закрашивал клеточку рядом с синей. Чтобы такая клеточка нашлась, Пете нужно её «зафиксировать» и никогда в нее не ходить. Например, он может выбрать клеточку рядом с первой закрашенной Васей (такая точно есть, т. к. после первого хода каждого из игроков закрашены всего клеточки, то есть у каждой из них закрашено не более одной соседней, а при этом у любой клетки поля имеется не менее двух соседних).

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более 1000 особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает лю
Средняя
Комбинаторика

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) В поликлинике на острове рыцарей и лжецов в четыре кабинета стоят четыре очереди. В первой очереди — 15 островитян, во второй — 19, в третьей — 18, в четвёртой — 14. Каждый островитянин, кроме первых в очередях, заявил: «В очереди передо мной не менее двух лжецов». Сколько рыцарей в поли
Средняя
Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 4

(20 баллов) Для скольких натуральных чисел n, не превосходящих 600, тройки чисел lfloorfrac n2rfloor, lfloorfrac n3rfloor, lfloorfrac n5rfloor и lfloor(n+1/2) rfloor, lfloor(n+1/3) rfloor, lfloor(n+1/5) rfloor различны? Как всегда, через lfloor xrfloor обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) 13 детей получили суммарно 1144 конфеты, причём количества конфет, полученных детьми, — последовательные натуральные числа. Раз в минуту один из детей, кто может отдать каждому из остальных детей по конфете, делал это (если таких детей было несколько, то делал только один из них). Через
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика