СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 5
( баллов) детей получили суммарно конфеты, причём количества конфет, полученных детьми, — последовательные натуральные числа. Раз в минуту один из детей, кто может отдать каждому из остальных детей по конфете, делал это (если таких детей было несколько, то делал только один из них). Через некоторое время у одного из детей оказалось конфет. При каком наибольшем это возможно?
Ответ
Ответ: .
Решение. Поскольку по условию количества конфет у детей изначально образуют последовательность натуральных чисел, то при делении на они дают разных остатков. Операция «отдать каждому из остальных детей по конфете» может быть представлена как две операции:
. отделить от имеющегося количества конфет штук (если конфет у данного ребёнка ровно , то одну конфету отделить мысленно);
. отделённые конфеты разделить между всеми, включая себя, поровну, то есть каждому ребёнку по конфете (если была отделённая мысленно конфета, то она возвращается владельцу).
Теперь заметим, что первая операция не меняет остатки конфет при делении на , потому что у детей вообще ничего не происходит, а у отдающего отделяются конфет; вторая операция увеличивает все остатки на , то есть как было разных остатков, так и останется.
Отсюда получаем, что максимальное количество конфет, которое может скопиться у одного ребёнка — это ситуация, когда у всех остальных детей количество конфет равно — это разных, и минимальных, остатков при делении на . Следовательно, у -го ребёнка будет конфет.
Верное решение