СПбГУ 2025, отборочный этап, 10–11 классы, задача 6
( баллов) Равносторонний треугольник разбит на меньших равносторонних треугольника, из которых ровно имеют сторону . Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что «другой» треугольник, со стороной не , хотя бы по одной своей стороне соприкасается с одним или несколькими треугольниками, имеющими сторону , поэтому его сторона будет каким-либо натуральным числом. Известно, что равносторонний треугольник со стороной разбивается на равносторонних треугольников со стороной . Пусть сторона исходного треугольника равна , а сторона «другого» из меньших треугольников равна . Тогда . Отсюда получаем, что . Это уравнение в натуральных числах при имеет два решения: либо и , то есть и ; либо и , откуда и . Следовательно, ответ — .