СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 10
( баллов) Саша должен был сложить несколько натуральных чисел и получить . Однако Саша, по непонятным причинам, или извлёк из числа квадратный корень (если при этом получалось целое число), или возвёл число в квадрат, и только потом сложил. Могло ли у Саши получится ?
Ответ
Ответ: Нет.
Решение. Идея решения состоит в том, что и при возведении в квадрат, и при извлечении корня (когда он извлекается) сохраняется чётность. Так как если в разложении числа на простые сомножители было число , то при возведении в квадрат оно сохранится (и не может появиться, если его не было); если из числа можно извлечь квадратный корень, то каждый простой сомножитель в его разложение входит чётное число раз, поэтому сохранится при операции извлечения корня (новые сомножители появиться также не могут).
Следовательно, чётность суммы не меняется, если слагаемые, все или несколько, заменить на их квадраты или квадратные корни (когда получается целое число). Таким образом, получить вместо чётной суммы нечётную невозможно.
Верное решение