СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 5

Средняя
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 10–11 классы

( баллов) На базаре в Египте турист торгуется с продавцом за сувенир стоимостью египетских фунтов. Турист сначала снижает цену на процентов (), потом продавец повышает цену на процентов и т.д. Число в ходе торга не меняется, и продавец повышает цену хотя бы один раз. Торг идет до тех пор, пока один из участников не получит нецелое значение цены сувенира. Найдите наибольшее возможное количество изменений цены сувенира в ходе такого торга (включая последнее нецелое значение цены).

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Конечная стоимость сувенира может быть найдена по одной из двух формул (в зависимости от того, чье было последнее слово): или

После несложных преобразований из этих формул получаем и .

Выражение вида делится на при , , и хотя бы один раз при , (четное число, кратное ).

1

Верное решение

20
Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 3

(20 баллов) Жора выписал на доску все натуральные числа k>1, не превосходящие 20, для которых верно следующее утверждение: «Если клетчатый прямоугольник можно разрезать по клеткам на k равных (по форме) частей, то этот же прямоугольник можно разрезать по клеткам и на меньшее k (но большее 1) количес
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 4

(20 баллов) Найдите все натуральные числа N, для которых выполнено равенство operatorname{НОК}(5040,N)=operatorname{НОД}(5040,N)+100080. В ответе укажите сумму всех подходящих значений. В частности, если таких чисел нет, укажите 0, а если оно только одно — его самого.
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 4

(20 баллов) Для скольких натуральных чисел n, не превосходящих 600, тройки чисел lfloorfrac n2rfloor, lfloorfrac n3rfloor, lfloorfrac n5rfloor и lfloor(n+1/2) rfloor, lfloor(n+1/3) rfloor, lfloor(n+1/5) rfloor различны? Как всегда, через lfloor xrfloor обозначена целая часть числа x, т.е. наибольшее
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Средняя
Теория чисел
Планиметрия