СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 4

Средняя
Теория чисел
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Найдите все натуральные числа , для которых выполнено равенство

В ответе укажите сумму всех подходящих значений. В частности, если таких чисел нет, укажите , а если оно только одно — его самого.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что , а . Поскольку НОК чисел делится на каждое из них, то левая часть условия делится на , то есть представима в виде при некотором натуральном . Так как второе слагаемое правой части — это , то имеем условие:

НОД должен быть натуральным числом, поэтому . Легко видеть, что не может быть больше , так как иначе НОД оказался бы больше, чем (например, при мы бы получили, что , чего быть не может).

Таким образом, , а . Поскольку

то

1

Верное решение

20
Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 3

(10 баллов) У натурального числа N ровно 4 натуральных делителя, при этом какие-то два из них отличаются на 157. Чему может быть равно N? Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) На базаре в Египте турист торгуется с продавцом за сувенир стоимостью 10000 египетских фунтов. Турист сначала снижает цену на x процентов (0
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) 13 детей получили суммарно 1144 конфеты, причём количества конфет, полученных детьми, — последовательные натуральные числа. Раз в минуту один из детей, кто может отдать каждому из остальных детей по конфете, делал это (если таких детей было несколько, то делал только один из них). Через
Средняя
Теория чисел
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 4

(20 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2042. За один ход можно дописать на доску квадрат какого-то числа на доске, либо НОК двух чисел на ней. Какое наименьшее составное число нельзя записать на доску?
Средняя
Теория чисел