СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 3

Ответ: .

Решение. Условие, что у числа имеется ровно делителя, означает, что помимо единицы и самого себя число делится только на некоторое и некоторое, другое, . Причём, если , то — простое, а — либо тоже простое, либо является квадратом . Иначе у числа были бы другие, отличные от и делители.

Рассмотрим первый случай когда , то есть простое нечётное. Тогда отличаться на :

• от не может, так как оказалось бы чётным;
• от , и от — не может, так как было бы чётным, а значит число делилось бы на ;
• от , и от — не может, так как оказалось бы чётным, что противоречит предположению ;
• от не может, так как — нечётное (либо простое, либо степень нечётного ) и снова получилась бы чётность .

Следовательно, и поэтому . Исследуем варианты:

• — противоречие (слишком много делителей);
• — противоречие;
• — противоречие;
• — этот вариант подходит, здесь ;
• и .

Таким образом, имеем два подходящих : и . В ответе указываем их сумму.