СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 3
( баллов) Жора выписал на доску все натуральные числа , не превосходящие , для которых верно следующее утверждение: «Если клетчатый прямоугольник можно разрезать по клеткам на равных (по форме) частей, то этот же прямоугольник можно разрезать по клеткам и на меньшее (но большее ) количество равных частей». Сколько чисел выписал Жора?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть площадь прямоугольника равна . Заметим, что если прямоугольник можно разрезать на равных частей, то , где — площадь одной -й части (так как части равны по форме, то они равны и по площади).
По условию, если , то и , причём ; и истинность утверждения не зависит от величины . Это означает, что является делителем . То есть выписаны могут быть только составные числа.
Теперь покажем, что любое составное число будет выписано. Пусть прямоугольник имеет размеры клеточек. Следовательно, , где — наименьшее простое в разложении числа , а — соответствующий множитель. Поскольку произведение и делится на , то либо , либо , либо они оба делятся на . Пусть, для определённости, на делится . То есть сторона прямоугольника длиной может быть поделена на равных частей. Значит, исходный прямоугольник можно по клеточкам разрезать на прямоугольничков размера (режем по стороне длины параллельно стороне длины ). Таким образом мы получили, что если исходный прямоугольник разрезан на частей, где составное, то он может быть разрезан и на меньшее число равных частей.
Составные натуральные числа, не превосходящие , это , , , , , , , , , и . Их штук.
Верное решение