СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2
( баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике стороны , . Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника », но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровно одного сложения использовал умножение. Укажите разность наименьшего и наибольшего значений, которые мог получить Вася.
Ответ
Ответ: .
Решение. Заметим, что так как площадь треугольника должна быть целочисленной, то она может принимать только значения , , , . Для понимания этой оценки удобно воспользоваться формулой площади треугольника через основание и высоту. Действительно, возьмем, например, в качестве основания сторону и посмотрим, какой длины может быть высота из вершины . Легко заметить, что точка не может находиться дальше, чем на расстоянии от прямой (так как ); но может находиться и ближе, но не на самой прямой (треугольник невырожденный). Таким образом, высота принимает значения из промежутка . Площадь треугольника будет равна , когда и перпендикулярны, и меньше в других случаях.
Следовательно, Вася должен был вычислить сумму
но вместо ровно одного из пяти сложений использовал умножение. Поэтому он мог получить одно из чисел:
Наименьшее число получается тогда, когда вместо суммы двух наименьших слагаемых использовано умножение (и получится число ), а наибольшее — когда умножение использовано вместо суммы двух наибольших слагаемых (и получится число ).
Верное решение