СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 4
( баллов) Биологический кружок посещают несколько учеников. Они определяют численность птиц, обитающих в окрестностях школы. Во дворе школы живет стая воробьев (не более особей). Ежедневно каждый из учеников кружка подсчитывает количество воробьев (любой ученик при любом подсчете учитывает любого воробья не более одного раза). Для полученных учениками значений вычисляется медиана. За неделю наблюдений медианы оказались следующими: , , , , . Пусть — точное число воробьев, живущих в школьном дворе (предполагаем, что оно не меняется в период измерений), . Укажите в ответе наибольшее такое . Известно, что:
а) в любой из дней подсчитанные учениками значения отличались между собой не менее, но не более, чем на ;
б) в кружке чётное количество учеников.
Если ответ при данных условиях задачи не может быть найден, то в поле ответа укажите число .
Напоминаем: Если в упорядоченном ряду данных нечётное число вариант, то средняя по счёту варианта называется медианой. Если в упорядоченном ряду чётное число вариант, то медианой называется среднее арифметическое двух средних по счёту вариант.
Ответ
Ответ: .
Решение. Поскольку в кружке чётное количество учеников, то заданные в задаче медианные значения являются медианами чётного количества чисел. Пусть в кружке учеников, — число воробьев, подсчитанное -м учеником в какой-то день (это натуральное число), и пусть . Тогда медиана — это , и, следовательно, было хотя бы одно измерение, большее медианы (то есть учениками были получены значения, не меньшие, чем , , , , ).
Также очевидно, что если кто-то подсчитал, например, воробья, то полученное кем-то в другой день меньшее значение (скажем, ) нас уже не интересует, так как мы понимаем, что воробьев на самом деле не меньше . То есть из всех пяти значений задачи нас интересует наибольшее — . Именно не меньше него было получено значение кем-то из учеников, и у нас нет оснований утверждать, что точно было получено какое-либо большее значение.
Верное решение