СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 4

Средняя

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 8–9 классы

( баллов) В поликлинике на острове рыцарей и лжецов в четыре кабинета стоят четыре очереди. В первой очереди — островитян, во второй — , в третьей — , в четвёртой — . Каждый островитянин, кроме первых в очередях, заявил: «В очереди передо мной не менее двух лжецов». Сколько рыцарей в поликлинике? Напомним, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что в любой их очередей не может быть трёх или более лжецов, так как тогда заявление третьего из них было бы правдой (так как перед ним в очереди есть двое других лжецов).

Заметим, что в каждой из очередей второй от начала — лжец (так как перед ним только один человек, то есть высказанное утверждение неверно). Третий от начала либо лжец (и тогда первый в очереди должен быть рыцарем, так как уже два лжеца в очереди есть — второй и третий), либо рыцарь (но тогда лжецом будет первый в очереди). Таким образом, все, стоящие в любой из очередей с четвертого места и до конца — рыцари. А ровно два лжеца в каждой из очередей занимают два места из первой тройки. Отсюда получаем, что рыцарей в поликлинике

Верное решение

Максимум: 20

Похожие задачи

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

(10 баллов) Вася правильно решал задачу «В невырожденном треугольнике ABC стороны AB=4, BC=3. Найдите сумму всех целочисленных значений, которые может принимать площадь треугольника ABC», но при вычислении суммы упорядоченных по возрастанию чисел (возможных значений площади треугольника) вместо ровн

Средняя

Планиметрия

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 3

(20 баллов) На факультете журналистики университета Сказочного Содружества имеется 5 целевых мест: 2 на дневном отделении и 3 на вечернем. На них направлены 4 курицы: три черных и белая. Место для каждой курицы резервируется сразу после подачи ею заявления, причем порядок подачи курицами заявлений с

Средняя

Комбинаторика

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 9

(40 баллов) Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел от 1 до 3000 так, чтобы разность любых двух из них была отлична от 1, 4 и 5?

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 8

(40 баллов) Петя и Вася играют на доске 10 × 10, исходно покрашенной в белый цвет. Они по очереди перекрашивают по одной клетке доски: Петя — в красный цвет, Вася — в синий цвет. Начинает Петя; игра заканчивается, когда все клетки доски будут покрашены. Может ли Петя красить клетки так, чтобы вне за

Средняя

Комбинаторика