СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 3

Ответ: .

Решение. На факультете имеются суммарно мест, на которые поступают абитуриента. Поскольку все абитуриенты поступят на факультет, то исход определяется выбором тех, кто поступит на дневное отделение. Это могут быть либо два абитуриента (и их можно выбрать шестью способами), либо один абитуриент (его можно выбрать четырьмя способами); таким образом, всего имеется исходов. Найдем вероятности этих исходов.

Зафиксируем порядок, в котором курицы подают заявления. Пусть это . Следовательно, сначала выбор места будет осуществлять курица , потом курица и т.д. Поскольку в условии нет ограничений на предпочтения абитуриентов, то выбор дневного и вечернего отделения равновероятен и равен , если это технически возможно (не все варианты доступны для куриц, делающих выбор последними — из-за ограничений на количество мест как на дневном, так и на вечернем отделениях).

На рисунке двойными линиями, ведущими от узла влево, обозначен выбор дневного отделения, одинарными, ведущими от узла вправо, — вечернего. Сплошные линии — это технически осуществимые случаи, штриховые — невозможные варианты. То, какая именно курица делает выбор на конкретном уровне, отмечено в столбце слева. Если для осуществления какого-либо варианта фактический выбор делают куриц, то вероятность такого варианта составляет . Заметим, что для осуществления, например, варианта нужен выбор только первых двух куриц — третьей и четвертой ничего не остается, как выбрать вечернее отделение. Вероятности каждого из возможных вариантов приведены на рисунке внизу под названиями вариантов.

Курицы подают заявления в случайном порядке, поэтому когда в решении идет речь, например, об одной курице из четырех, то, во-первых, это может быть как первая среди подавших заявление, так и вторая, третья или четвертая; а во-вторых, если нас интересует не произвольная из куриц, а какая-то конкретная, необходимо понимать, сколькими способами можно выбрать нужную нам курицу из имеющихся. Ответ будет получаться как произведение соответствующих вероятностей.

Событие «на дневное отделение поступит хотя бы одна черная курица» противоположно событию «на дневное отделение не поступит ни одна из черных куриц». На дневном отделении должна быть хотя бы одна курица (т.к. на вечернем отделении мест , а куриц по условию ), а поскольку у нас только одна белая, то именно она на дневное отделение и поступит. Вероятность выбора ровно одной (белой) курицы четырех имеющихся равна .

Теперь найдем вероятность того, что «на дневное отделение поступит ровно одна курица». На рисунке это события , , и — когда дневное отделение выбирает курица , , и соответственно. Вероятность их осуществления равна .

Отсюда получаем ответ: .