СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 15

Средняя
Теория чисел
Комбинаторика
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Числа от до расположены в строку в порядке убывания. За один ход разрешается либо:

. поменять местами любое чётное число с соседним;

. либо, если подряд идут три нечётных числа, поменять местами первое и третье из них.

Можно ли с помощью таких действий переставить числа так, чтобы они были упорядочены по возрастанию?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Нет.

Решение. Будем смотреть только на расположение нечётных чисел относительно друг друга. Тогда первая операция не влияет на это расположение. Изначально число на первом месте среди нечётных. При следующих операциях номер единицы среди нечётных будет либо не меняться, либо изменяться на . Но в конце она должна оказаться на месте среди нечётных. Очевидно, что изменениями на нельзя из получить .

1

Верное решение

40
Максимум: 40

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 4

(20 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2042. За один ход можно дописать на доску квадрат какого-то числа на доске, либо НОК двух чисел на ней. Какое наименьшее составное число нельзя записать на доску?
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2023, 10–11 классы, задача 5

(20 баллов) На базаре в Египте турист торгуется с продавцом за сувенир стоимостью 10000 египетских фунтов. Турист сначала снижает цену на x процентов (0
Средняя
Теория чисел

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 4

(20 баллов) В поликлинике на острове рыцарей и лжецов в четыре кабинета стоят четыре очереди. В первой очереди — 15 островитян, во второй — 19, в третьей — 18, в четвёртой — 14. Каждый островитянин, кроме первых в очередях, заявил: «В очереди передо мной не менее двух лжецов». Сколько рыцарей в поли
Средняя
Комбинаторика

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 14

(40 баллов) Существует ли натуральное число n, для которого числа n4+4 и (n+2)4+4 взаимно просты?
Средняя
Алгебра
Теория чисел