СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 5
( баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник (угол равен градусов). Точки и — середины сторон и . Точка , лежащая в той же полуплоскости относительно прямой , что и точка , такова, что треугольник — равносторонний. Прямые и пересекаются в точке , прямые и — в точке . Докажите, что и перпендикулярны.
Ответ
Решение. — ортоцентр треугольника . Покажем это.
а) Поскольку средняя линия, параллельная катету равнобедренного прямоугольного треугольника, а треугольник равносторонний, то
Отсюда, треугольник — прямоугольный. Т. е. проходящая через прямая перпендикулярна проходящей через прямой .
б) Проходящая через прямая перпендикулярна проходящей через прямой как медиана прямого угла в равнобедренном прямоугольном треугольнике . Т. е. и — высоты в треугольнике , следовательно, тоже будет высотой и будет перпендикулярна .
Верное решение