СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 5

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2026, 8–9 классы

( баллов) На высоте остроугольного треугольника нашлась такая точка , что и . Верно ли, что ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: да.

Чертёж к задаче

Решение. Рассмотрим треугольник . В нём угол прямой, а угол равен градусам. Следовательно, угол также будет равен градусам и будут равны и .

Теперь рассмотрим треугольники и . В них , , . Поэтому эти прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда получаем, что равны и другие катеты: . Поэтому треугольник — прямоугольный с прямым углом и равными катетами, поэтому он равнобедренный и углы при основании ( и ) равны градусам.

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне BC квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EC=CF:FB=1:2. На стороне CD отмечена точка G так, что CG:GD=2:1. На стороне AD отмечены точки H и I так, что AI:ID=DH:HA=1:2. Отрезок BG пересекает отрезки AE, IF и HC в точках J, K и L соответственно. Площадь какого из четырех
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.
Средняя
Планиметрия