СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 10–11 классы

( баллов) Точка — середина гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника , — середина отрезка . Прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке . Найдите площадь треугольника , если .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Поскольку треугольник равнобедренный, то дуги и равны. Следовательно, равны опирающиеся на них углы и . Таким образом, — биссектриса угла . Отсюда получаем, что

(по условию — четверть отрезка ). Отметим, что треугольник — прямоугольный с гипотенузой . Обозначим через . Тогда

Отсюда и площадь треугольника равна

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.
Средняя
Теория чисел
Планиметрия

СПбГУ 2026, 8-9 классы, задача 5

(30 баллов) На высоте BH остроугольного треугольника ABC нашлась такая точка L, что angle LAH=45circ и AB=CL. Верно ли, что angle ACB=45circ?
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC угол при основании AC равен 64circ. Внутри angle BAC, но вне треугольника ABC отмечена точка K такая, что AK=BC. Внутри треугольника ABC отмечена точка Q такая, что AQ=QC и AQ — биссектриса угла BAK. Найдите величину угла angle AKQ. Чертёж к з
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 4

(30 баллов) На сторонах BC и AC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) нашлись точки D и E соответственно такие, что AE=AD, angle EDC=18circ. Найдите величину угла angle BAD.
Средняя
Планиметрия