СПбГУ 2024, 8–9 классы, задача 6

Средняя

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2024, 8–9 классы

( баллов) В равнобедренном треугольнике угол при основании равен . Внутри , но вне треугольника отмечена точка такая, что . Внутри треугольника отмечена точка такая, что и — биссектриса угла . Найдите величину угла .

Чертёж к задаче

Ответ

Ответ: .

Решение. Рассмотрим треугольники и . Сторона у них общая, , т. к. — биссектриса угла . Также из построения точки и равнобедренности треугольника с основанием верно равенство сторон . Следовательно, данные треугольники равны и, соответственно, равны углы .

Теперь заметим, что так как , то точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , который является основанием равнобедренного треугольника . Поэтому точка лежит и на биссектрисе угла . Отсюда получаем, что

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 5

(30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

(30 баллов) Пусть AL — биссектриса треугольника ABC. Точки K и M на отрезках CL и AC таковы, что KMparallel AB. Найдите длину отрезка KL, если KM=5, AM=8, AB=7, BL=(32/5). Чертёж к задаче

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2025, 8–9 классы, задача 7

(30 баллов) В равнобокой трапеции ABCD (сторона BC параллельна стороне AD) известно, что angle ACD=111^circ и BC+CD=AD. Найдите величину угла angle BDA.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 4

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10.

Средняя

Планиметрия