СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 8

Средняя

Источник:

Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2025, 10–11 классы

( баллов) Пусть — биссектриса треугольника . Точки и на отрезках и таковы, что . Найдите длину отрезка , если , , , .

Чертёж к задаче

Ответ

Ответ: .

Решение. Продлим до пересечения с в точке . Тогда получим, что треугольник равнобедренный с основанием , а треугольники и подобны по трём углам. Поскольку , то . Соотношения для длин сторон подобных треугольников:

Отсюда получаем, что

Верное решение

Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2025, 10–11 классы, задача 6

(20 баллов) Равносторонний треугольник разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых ровно 1003 имеют сторону 1. Найдите все возможные значения, которые может принимать сторона исходного треугольника. Если вариантов ответа несколько, в ответе укажите их сумму.

Средняя

Теория чисел

Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 4

(30 баллов) На сторонах BC и AC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) нашлись точки D и E соответственно такие, что AE=AD, angle EDC=18^circ. Найдите величину угла angle BAD.

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 6

(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка

Средняя

Планиметрия

СПбГУ 2024, 10–11 классы, задача 5

(30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника?

Средняя

Планиметрия