СПбГУ 2023, 8–9 классы, задача 4

Средняя
Планиметрия
Источник:
Олимпиады школьников СПбГУ, Отборочный этап, 2023, 8–9 классы

( баллов) На сторонах и равнобедренного треугольника () нашлись точки и соответственно такие, что , . Найдите величину угла .

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: .

Чертёж к решению

Решение. Обозначим углы, как указано на рисунке. Угол является внешним для треугольника ; отсюда, . Углы и — углы при основании равнобедренного треугольника ; отсюда . Углы и — углы при основании равнобедренного треугольника ; отсюда . Подставим эти выражения в соотношение для угла :

Упрощая выражение, получаем, что , то есть .

1

Верное решение

30
Максимум: 30

Похожие задачи

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 7

(30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC. Точки P и Q на прямых AB и BC соответственно таковы, что AP=PM и CQ=QM. Найдите величину угла angle PQM, если angle BAC=17circ. Чертёж к задаче
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2022, 10–11 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне AC треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром O, пересекающая сторону BC этого треугольника в точке D. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC, если OD=4, DC=3, а центр описанной окружности треугольника ABC лежит на BO.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(30 баллов) На биссектрисе угла angle A=90circ отмечена точка X. На сторонах угла нашлись такие точки Y и Z, что XY=XZ, а angle YXZ=90circ. Оказалось, что площадь четырёхугольника AYXZ равна 50. Найдите расстояние от точки X до сторон угла.
Средняя
Планиметрия

СПбГУ 2022, 8–9 классы, задача 9

(30 баллов) На стороне BC квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что BE:EC=CF:FB=1:2. На стороне CD отмечена точка G так, что CG:GD=2:1. На стороне AD отмечены точки H и I так, что AI:ID=DH:HA=1:2. Отрезок BG пересекает отрезки AE, IF и HC в точках J, K и L соответственно. Площадь какого из четырех
Средняя
Планиметрия