СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5
( баллов) На биссектрисе угла отмечена точка . На сторонах угла нашлись такие точки и , что , а . Оказалось, что площадь четырёхугольника равна . Найдите расстояние от точки до сторон угла.
Ответ
Ответ: оба расстояния равны .
Решение. Заметим, что четырехугольник вписанный (противолежащие углы и в нём прямые). То есть — диаметр описанной окружности этого четырехугольника. В дальнейшем решении будем считать, что угол не тупой. (Примечание: если углы и прямые, то рассматриваемая фигура будет квадратом и вычисления тривиальны. Однако, как легко заметить из рисунка, это не всегда так.)
Пусть и — основания перпендикуляров из точки на стороны угла . В задаче необходимо найти длины и (так как лежит на биссектрисе угла , то эти отрезки будут равны). Точка будет лежать между и , а точка — на луче за точкой (так как угол у нас острый (случай прямого угла мы уже не рассматриваем из-за его тривиальности), а угол , соответственно, тупой).
Заметим, что прямоугольные треугольники и (с прямыми углами и соответственно) равны по гипотенузе и катету (гипотенузы равны по условию, катеты по построению). Следовательно, будут равны площади этих треугольников. Теперь, ввиду расположения точек и , мы можем сделать следующие заключения о соотношении площадей:
Четырехугольник же является квадратом (противоположные пары углов прямые). Следовательно,
Отсюда,
Верное решение